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<!DOCTYPE html>

<title>Nichtrandomisierter Test</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Nichtrandomisierter Test</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Als <b>nichtrandomisierte Tests</b> wird in der <a href="Testtheorie_(Statistik)" title="Testtheorie (Statistik)">Testtheorie</a>, einem Teilgebiet der <a href="Mathematische_Statistik" title="Mathematische Statistik">mathematischen Statistik</a>, eine spezielle Klasse von <a href="Statistischer_Test" title="Statistischer Test">statistischen Tests</a> bezeichnet. Im Gegensatz zu den <a href="Randomisierter_Test" title="Randomisierter Test">randomisierten Tests</a> liefern sie stets eine eindeutige Entscheidung, ob die Hypothese abzulehnen oder beizubehalten ist. Wesentlicher Vorteil von nichtrandomisierten Tests ist, dass sie leichter zugänglich und verständlich sind. Jedoch sind sie aus mathematischer Sicht von Nachteil, da sie einige wünschenswerten Eigenschaften nicht besitzen. So lassen sich viele Existenz- und Optimalitätsaussagen für nichtrandomisierte Tests nicht zeigen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

<p>Anschaulich ist ein nichtrandomisierter Test <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"></span> eine Abbildung, die jeder Beobachtung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"></span> zuordnet, ob bei Vorliegen dieser Beobachtung die <a href="Nullhypothese" class="mw-redirect" title="Nullhypothese">Nullhypothese</a> beibehalten wird oder ob sie abgelehnt wird. Dabei wird die Entscheidung codiert mit 1="Ablehnung der Nullhypothese" und 0="Beibehaltung der Nullhypothese".

</p><p>Streng formell wird ein nichtrandomisierter Test wie folgt definiert: gegeben sei ein <a href="Statistisches_Modell" title="Statistisches Modell">statistisches Modell</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })}">

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5b3b1417dc26caffab03b0b7a7e0a3f1ce4b3ef6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.74ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })}" loading="lazy"></span>. Ein nichtrandomisierter Test ist eine <a href="Statistik_(Funktion)" title="Statistik (Funktion)">Statistik</a>

</p>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi \colon ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})\to ([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]))}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91b6ab352b5e979a961c77176d641f0ce4087373.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.291ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi \colon ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})\to ([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]))}" loading="lazy"></span>,</dd></dl>

<p>welche nur die Werte null oder eins annimmt. Es ist also <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi (x)\in \{0,1\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (x)\in \{0,1\}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b662e00e76d9b85e831cd39b6e0e7bebe1026e65.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.184ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi (x)\in \{0,1\}}" loading="lazy"></span> für alle <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in {\mathcal {X}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in {\mathcal {X}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b3cd596d560b9f3bc71615911c2438cbbf49c15.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.046ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in {\mathcal {X}}}" loading="lazy"></span>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiel">Beispiel</h2></div>

<p>Gegeben sei die Grundmenge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {X}}=\{0,1,2,\dots ,10\}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {X}}=\{0,1,2,\dots ,10\}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3d0ea24fae2b9a5dd3239e6860cf14b354069908.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.357ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {X}}=\{0,1,2,\dots ,10\}}" loading="lazy"></span>, versehen mit der <a href="Potenzmenge" title="Potenzmenge">Potenzmenge</a> als <a href="%CE%A3-Algebra" title="Σ-Algebra">σ-Algebra</a>, also <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}({\mathcal {X}})}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}({\mathcal {X}})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/acf866c9440bdd7efb1a67d20d62e9bbfdeb93fa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.39ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}({\mathcal {X}})}" loading="lazy"></span>. Diese Menge kann beispielsweise mit der <a href="Binomialverteilung" title="Binomialverteilung">Binomialverteilung</a> mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=10}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=10}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fecadd7726f4d4c6c390c2f2e73533d7a3729ab0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.818ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=10}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \vartheta =p\in (0,1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vartheta =p\in (0,1)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ce4c337b28e94a8e0c441d0c42dab60e25cf021f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.651ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \vartheta =p\in (0,1)}" loading="lazy"></span> als Wahrscheinlichkeitsverteilung versehen werden. Dies und die exakte Wahl der Hypothesen ist für die Definition eines nichtrandomisierten Tests vorerst nicht relevant.

</p><p>Ein nichtrandomisierter Test wäre beispielsweise gegeben durch

</p>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mtext> falls </mtext>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mtext> falls </mtext>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}0&{\text{ falls }}x\leq 7\\1&{\text{ falls }}x\geq 8\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/524f809914150b0113b783d47511a11b0e00a2a3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:24.573ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}0&{\text{ falls }}x\leq 7\\1&{\text{ falls }}x\geq 8\end{cases}}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Der Test behält somit bei Werten kleinergleich sieben die Nullhypothese bei und lehnt sie bei Werten größergleich acht ab. Er nimmt nur die Werte null und eins an und ist somit ein nichtrandomisierter Test.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Abgrenzung_zu_den_randomisierten_Tests">Abgrenzung zu den randomisierten Tests</h2></div>

<p>Wesentlicher Unterschied zwischen randomisierten Tests und nichtrandomisierten Tests ist, dass randomisierte Tests auch Werte zwischen null und eins, also aus dem Intervall <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0,1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0,1)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c79c6838e423c1ed3c7ea532a56dc9f9dae8290b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0,1)}" loading="lazy"></span>, annehmen. Diese Werte werden dann als die Wahrscheinlichkeit interpretiert, sich gegen die Nullhypothese zu entscheiden. Bei Vorliegen solch eines Wertes müsste dann ein entsprechendes Losverfahren durchgeführt werden, um die Entscheidung zu fällen. Im Gegensatz dazu sind nichtrandomisierte Tests in dem Sinne deterministisch, als dass sie bei vorliegen gleicher Daten stets die gleiche Entscheidung fällen. Dies ist bei randomisierten Tests nicht der Fall.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Ludger Rüschendorf: <cite style="font-style:italic">Mathematische Statistik</cite>. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>21</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-41997-3">10.1007/978-3-642-41997-3</a></span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Nichtrandomisierter+Test&rft.au=Ludger+R%C3%BCschendorf&rft.btitle=Mathematische+Statistik&rft.date=2014&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-41997-3&rft.genre=book&rft.isbn=9783642419966&rft.pages=21&rft.place=Berlin+Heidelberg&rft.pub=Springer+Verlag" style="display:none"> </span></li>

<li>David Meintrup, Stefan Schäffler: <cite style="font-style:italic">Stochastik</cite>. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>483–484</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/b137972">10.1007/b137972</a></span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Nichtrandomisierter+Test&rft.au=David+Meintrup%2C+Stefan+Sch%C3%A4ffler&rft.btitle=Stochastik&rft.date=2005&rft.doi=10.1007%2Fb137972&rft.genre=book&rft.isbn=9783540216766&rft.pages=483-484&rft.place=Berlin+Heidelberg+New+York&rft.pub=Springer-Verlag" style="display:none"> </span></li>

<li>Hans-Otto Georgii: <cite style="font-style:italic">Stochastik</cite>. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>266</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1515/9783110215274">10.1515/9783110215274</a></span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Nichtrandomisierter+Test&rft.au=Hans-Otto+Georgii&rft.btitle=Stochastik&rft.date=2009&rft.doi=10.1515%2F9783110215274&rft.edition=4.&rft.genre=book&rft.isbn=9783110215267&rft.pages=266&rft.place=Berlin&rft.pub=Walter+de+Gruyter" style="display:none"> </span></li></ul></div><div><div class="zim-footer">

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